Дано:
- Катеты прямоугольного треугольника: a1 = 6 см, a2 = 8 см
- Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны β = 60°
Найти:
- Объём конуса, вписанного в данную пирамиду.
Решение:
1. Найдём площадь основания S прямоугольного треугольника:
S = (1/2) * a1 * a2,
S = (1/2) * 6 * 8,
S = 24 см².
2. Найдём гипотенузу c треугольника, используя теорему Пифагора:
c = √(a1² + a2²),
c = √(6² + 8²),
c = √(36 + 64),
c = √100,
c = 10 см.
3. Для нахождения высоты H пирамиды воспользуемся формулой для высоты, которая связана с двугранными углами. Высота H может быть найдена как:
H = h / cos(β),
где h – высота, опущенная из вершины пирамиды на основание (это высота прямоугольного треугольника), которую можно найти по формуле:
h = a2 * sin(α),
где α — угол между катетами. В данном случае, α = arcsin(a1/c).
4. Находим h:
α = arcsin(6/10) = arcsin(0.6),
h = a2 * sin(α) = 8 * (6/10) = 4.8 см.
5. Теперь вычисляем высоту H:
H = h / cos(60°) = 4.8 / (1/2) = 9.6 см.
6. Высота конуса, вписанного в пирамиду, равна H. Площадь основания конуса равна площади основания пирамиды:
S_конуса = S = 24 см².
7. Объём V_конуса рассчитывается по формуле:
V_конуса = (1/3) * S_конуса * H,
V_конуса = (1/3) * 24 * 9.6,
V_конуса = 76.8 см³.
Ответ:
Объём конуса, вписанного в данную пирамиду, составляет 76.8 см³.