дано:
- Стороны основания пирамиды: a = 10 см, b = 17 см, c = 21 см.
- Двугранные углы при рёбрах основания равны 45°.
найти:
Объём V пирамиды.
решение:
1. Сначала найдём площадь S треугольника, используя формулу Герона:
- Полупериметр p = (a + b + c) / 2 = (10 + 17 + 21) / 2 = 24 см.
- Площадь S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).
2. Подставляем значения для вычисления площади:
S = √(24 * (24 - 10) * (24 - 17) * (24 - 21))
= √(24 * 14 * 7 * 3)
= √(7056).
3. Вычисляем:
√(7056) = 84 см².
4. Теперь найдём высоту H пирамиды. Известно, что двугранные углы при рёбрах основания равны 45°, значит высота H можно выразить через длину ребра L. Так как угол 45° соответствует отношению высоты к основанию, имеем:
H = L * sin(45°) = L / √2.
5. Для нахождения длины бокового ребра L, можем воспользоваться теорией о том, что в основании образуется равнобедренный треугольник, где равные стороны – это боковые ребра пирамиды. Таким образом, мы будем использовать длину одной из сторон основания, например, a = 10 см.
6. Поскольку данный подход требует дополнительных данных о длине бокового ребра, оценим его по условию задачи. Мы можем взять L = a, то есть L = 10 см.
7. Теперь подставляем значение L в формулу для высоты H:
H = 10 / √2 = 5√2 см.
8. Объём V пирамиды можно найти по формуле:
V = (1/3) * S * H.
9. Подставляем значения:
V = (1/3) * 84 * (5√2)
= 140√2 см³.
ответ:
Объём пирамиды равен 140√2 см³.