Дано:
- стороны оснований усечённой пирамиды: 8 см и 12 см
- высота пирамиды h = 2√7 см
Найти: площадь боковой поверхности усечённого конуса, описанного около пирамиды.
Решение:
1. Для начала определим радиусы оснований усечённого конуса. Поскольку усечённый конус описан около усечённой пирамиды, радиусы оснований конуса будут равны половине сторон оснований пирамиды.
Радиус нижнего основания конуса R1 = 12 см / 2 = 6 см,
Радиус верхнего основания конуса R2 = 8 см / 2 = 4 см.
2. Найдём наклонные высоты (образующие) конуса. Для этого используем теорему Пифагора в треугольниках, образованных высотой пирамиды и радиусами оснований усечённого конуса.
Для нижнего основания конуса (R1 = 6 см):
l1 = √(h² + R1²) = √((2√7)² + 6²) = √(4 × 7 + 36) = √(28 + 36) = √64 = 8 см.
Для верхнего основания конуса (R2 = 4 см):
l2 = √(h² + R2²) = √((2√7)² + 4²) = √(4 × 7 + 16) = √(28 + 16) = √44 ≈ 6,63 см.
3. Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:
S_бок = π × (R1 + R2) × (l1 + l2)
Подставим значения:
S_бок = π × (6 + 4) × (8 + 6,63) = π × 10 × 14,63 ≈ 3,14 × 10 × 14,63 ≈ 459,86 см².
Ответ: площадь боковой поверхности усечённого конуса приблизительно равна 459,86 см².