Дано:
- радиусы оснований усечённого конуса: R1 = 7 см, R2 = 5 см
- угол между образующей и плоскостью большего основания конуса: α = 45°
- высота пирамиды h, которая не дана напрямую.
Найти: площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.
Решение:
1. Начнём с того, что для нахождения площади боковой поверхности усечённой пирамиды нужно найти её образующие. Чтобы это сделать, определим высоту усечённого конуса и затем используем её для вычисления площади боковой поверхности пирамиды.
2. Важно заметить, что образующая усечённого конуса, которая является также образующей пирамиды, образует угол 45° с плоскостью большего основания конуса. Этот угол связан с наклонной высотой конуса (образующей) через тангенс угла.
3. Обозначим образующую усечённого конуса как l. Поскольку угол между образующей и плоскостью основания равен 45°, то для нахождения l используем следующее соотношение:
tg(α) = (R1 - R2) / h, где R1 и R2 — радиусы оснований конуса.
tg(45°) = 1, следовательно:
(R1 - R2) / h = 1,
(7 - 5) / h = 1,
2 / h = 1,
h = 2 см.
Теперь мы знаем, что высота пирамиды (и высота усечённого конуса) равна 2 см.
4. Теперь найдём образующую l конуса. Для этого применим теорему Пифагора для треугольника, образованного высотой пирамиды, разницей радиусов оснований и образующей конуса. В этом треугольнике гипотенуза будет равна l, катеты — разница радиусов и высота:
l = √(h² + (R1 - R2)²).
Подставим известные значения:
l = √(2² + (7 - 5)²) = √(4 + 4) = √8 ≈ 2,83 см.
5. Теперь можно вычислить площадь боковой поверхности усечённой пирамиды. Для этого используем формулу для площади боковой поверхности усечённой пирамиды:
S_бок = 2π * (R1 + R2) * l.
Подставим найденные значения:
S_бок = 2π * (7 + 5) * 2,83 ≈ 2 * 3,14 * 12 * 2,83 ≈ 212,35 см².
Ответ: площадь боковой поверхности усечённой пирамиды приблизительно равна 212,35 см².