Дано:
Уравнение сферы: (x - 2)² + (y + 3)² + (z - 6)² = 49.
Необходимо найти координаты точек пересечения сферы с осями координат.
1. Пересечение с осью X
Для нахождения точек пересечения с осью X, необходимо приравнять y и z к нулю, так как на оси X координаты y и z равны нулю.
Подставим y = 0 и z = 0 в уравнение сферы:
(x - 2)² + (0 + 3)² + (0 - 6)² = 49,
(x - 2)² + 3² + 6² = 49,
(x - 2)² + 9 + 36 = 49,
(x - 2)² + 45 = 49,
(x - 2)² = 49 - 45,
(x - 2)² = 4,
x - 2 = ±2,
x = 2 ± 2.
Таким образом, x = 4 или x = 0.
Ответ для оси X:
Точки пересечения с осью X: (4, 0, 0) и (0, 0, 0).
2. Пересечение с осью Y
Для нахождения точек пересечения с осью Y, необходимо приравнять x и z к нулю, так как на оси Y координаты x и z равны нулю.
Подставим x = 0 и z = 0 в уравнение сферы:
(0 - 2)² + (y + 3)² + (0 - 6)² = 49,
(-2)² + (y + 3)² + (-6)² = 49,
4 + (y + 3)² + 36 = 49,
(y + 3)² + 40 = 49,
(y + 3)² = 49 - 40,
(y + 3)² = 9,
y + 3 = ±3,
y = -3 ± 3.
Таким образом, y = 0 или y = -6.
Ответ для оси Y:
Точки пересечения с осью Y: (0, 0, 0) и (0, -6, 0).
3. Пересечение с осью Z
Для нахождения точек пересечения с осью Z, необходимо приравнять x и y к нулю, так как на оси Z координаты x и y равны нулю.
Подставим x = 0 и y = 0 в уравнение сферы:
(0 - 2)² + (0 + 3)² + (z - 6)² = 49,
(-2)² + 3² + (z - 6)² = 49,
4 + 9 + (z - 6)² = 49,
(z - 6)² + 13 = 49,
(z - 6)² = 49 - 13,
(z - 6)² = 36,
z - 6 = ±6,
z = 6 ± 6.
Таким образом, z = 12 или z = 0.
Ответ для оси Z:
Точки пересечения с осью Z: (0, 0, 12) и (0, 0, 0).
Итоговый ответ:
Точки пересечения сферы с осями координат:
- С осью X: (4, 0, 0) и (0, 0, 0),
- С осью Y: (0, 0, 0) и (0, -6, 0),
- С осью Z: (0, 0, 12) и (0, 0, 0).