дано:
тангенс угла между апофемами двух несоседних боковых граней равен 2√2.
найти:
плоский угол при вершине пирамиды α.
решение:
1. Обозначим:
- h – высота пирамиды.
- a – длина стороны основания (квадрат).
2. В правильной четырёхугольной пирамиде основанием является квадрат, и все боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Апофема боковой грани обозначим как l.
3. Для боковой грани имеем:
h = a / 2 * tan(α) (высота треугольника) и l² = h² + (a/2)² (апофема треугольника).
4. У нас есть тангенс угла между апофемами двух несоседних боковых граней. Этот угол можно представить через высоту и основание:
tan(φ) = 2√2,
где φ – угол между апофемами.
5. Угол φ связан с плоским углом α следующим образом:
tan(φ) = (h1 + h2) / a = 2h / a,
так как h1 = h2 = h.
6. Подставляем значения:
2√2 = 2h / a.
7. Получаем:
h = (a/2) * √2.
8. Теперь мы можем найти связь между высотой h и углом α. Из полученного ранее уравнения для h подставляем:
(a/2) * tan(α) = (a/2) * √2.
9. Поэтому:
tan(α) = √2.
10. Угол α равен:
α = arctan(√2).
ответ:
α ≈ 54.74°.