Дано:
- Плоский угол при вершине правильной четырёхугольной (квадратной) пирамиды α = 60 градусов.
- Высота пирамиды h = 2√2 см.
Найти:
Площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.
Решение:
1. Найдем длину стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды (квадрата). Для этого воспользуемся плоским углом при вершине. В правильной пирамиде с углом 60 градусов высота и половина стороны квадрата образуют прямоугольный треугольник:
tan(α/2) = (a/2) / h
где a - сторона основания.
Подставим значения:
tan(30) = (a/2) / (2√2)
tan(30) = 1/√3
Таким образом:
1/√3 = (a/2) / (2√2)
Умножим обе стороны на 2√2:
2√2/√3 = a/2
Теперь умножим обе стороны на 2:
4√2/√3 = a
2. Теперь найдем радиус основания конуса, описанного около пирамиды. Радиус R_основания равен половине длины стороны квадрата:
R_основания = a / 2 = (4√2/√3) / 2 = 2√2/√3
3. Найдем наклонную высоту (l) бокового ребра конуса. В нашем случае это будет равно:
l = √(h^2 + R_основания^2)
Подставим значения:
l = √((2√2)^2 + (2√2/√3)^2)
= √(8 + (8/3))
= √(24/3 + 8/3)
= √(32/3)
= (4/√3) * √2
= 4√2/√3
4. Площадь боковой поверхности конуса определяется по формуле:
S = π * R_основания * l
Подставим известные значения:
S = π * (2√2/√3) * (4√2/√3)
Упростим:
S = π * (8 * 2) / 3
S = 16π / 3
Ответ:
Площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды, равна 16π / 3 см².