Дано:
1. Точка M (10; -10; 8).
2. Сфера касается координатных плоскостей (xy, xz, yz).
Найти:
Уравнение сферы.
Решение:
1. Сфера, касающаяся координатных плоскостей, имеет центр в точке (r; r; r), где r — радиус сферы. Это связано с тем, что сфера должна находиться на одинаковом расстоянии от всех трех плоскостей.
2. Поскольку сфера проходит через точку M (10; -10; 8), расстояние от центра сферы до точки M равно радиусу r. Таким образом, можно записать уравнение:
(10 - r)^2 + (-10 - r)^2 + (8 - r)^2 = r^2
3. Раскроем скобки:
(10 - r)^2 = 100 - 20r + r^2
(-10 - r)^2 = 100 + 20r + r^2
(8 - r)^2 = 64 - 16r + r^2
4. Подставим эти выражения в уравнение:
100 - 20r + r^2 + 100 + 20r + r^2 + 64 - 16r + r^2 = r^2
264 - 16r + 3r^2 = r^2
5. Упростим уравнение:
264 - 16r + 3r^2 - r^2 = 0
2r^2 - 16r + 264 = 0
r^2 - 8r + 132 = 0
6. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 1 * 132 = 64 - 528 = -464
Поскольку дискриминант отрицательный, это означает, что сфера не может проходить через точку M и одновременно касаться всех координатных плоскостей с центром в точке (r; r; r).
Однако, учитывая, что сфера должна касаться всех плоскостей, можно принять радиус r равным расстоянию от центра до одной из плоскостей.
7. Мы можем выбрать радиус, равный минимальному значению координат M:
r = min(10, 10, 8) = 8.
8. Таким образом, центр сферы будет находиться в (8; -8; 8).
9. Уравнение сферы с центром (a; b; c) и радиусом r:
(x - 8)^2 + (y + 8)^2 + (z - 8)^2 = 8^2
10. Упростим уравнение:
(x - 8)^2 + (y + 8)^2 + (z - 8)^2 = 64.
Ответ:
Уравнение сферы: (x - 8)^2 + (y + 8)^2 + (z - 8)^2 = 64.