Дано:
1. Двугранный угол при ребре основания (α).
2. Радиус сферы, описанной около пирамиды (R).
Найти:
Высоту пирамиды (h).
Решение:
1. В правильной треугольной пирамиде радиус сферы, описанной около данной пирамиды, можно выразить через высоту и сторону основания. Радиус R описанной сферы для правильной треугольной пирамиды определяется формулой:
R = (a / (2√3)) + (h / 3).
Здесь a — сторона основания.
2. Угол α связан с высотой h и боковым ребром l. Для правильной треугольной пирамиды, если боковое ребро образует угол α с плоскостью основания, высота h может быть выражена через l и угол:
h = l * sin(α).
3. Также, для правильной треугольной пирамиды, боковое ребро l можно выразить через радиус R и угол α:
l = R / cos(α).
4. Подставим l в выражение для высоты h:
h = (R / cos(α)) * sin(α) = R * (sin(α) / cos(α)) = R * tan(α).
Ответ:
Высота пирамиды равна R * tan(α).