Дано:
1. Сторона основания правильного треугольника (a).
2. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию.
3. Третья грань образует с основанием угол (α).
Найти:
Радиус шара, описанного около данной пирамиды (R).
Решение:
1. Площадь основания S правильного треугольника вычисляется по формуле:
S = (√3 / 4) * a².
2. Рассмотрим высоту h пирамиды. Поскольку две боковые грани перпендикулярны основанию, высота h будет равна высоте правильного треугольника. Высота h треугольника вычисляется по формуле:
h_t = (√3 / 2) * a.
3. Высота пирамиды H будет зависеть от угла α. Поскольку одна боковая грань образует угол α с основанием, высота H может быть выражена через высоту h_t и угол α:
H = h_t / cos(α).
4. Теперь найдем радиус описанной сферы R для правильной треугольной пирамиды:
R = (abc) / (4S),
где c — длина бокового ребра, равная H.
5. Найдем длину бокового ребра c. Используя теорему Пифагора:
c = √(h_t² + H²).
6. Подставляем значения:
c = √((√3 / 2) * a)² + (h_t / cos(α))².
7. Теперь подставим значения в формулу для R:
R = (a * a * c) / (4 * S).
8. Упростим выражение для R, подставив найденные значения.
Ответ:
Радиус шара, описанного около данной пирамиды, равен R.