Дано:
1. Сторона правильного треугольника (a).
2. Угол наклона третьей боковой грани к основанию (в) = 60°.
Найти:
Объем пирамиды (V).
Решение:
1. Площадь основания S правильного треугольника вычисляется по формуле:
S = (√3 / 4) * a².
2. Две боковые грани перпендикулярны к основанию, значит, высота пирамиды будет равна высоте из вершины третьей боковой грани.
3. Высота h треугольника (основания) может быть найдена как:
h_tr = (√3 / 2) * a.
4. Для нахождения высоты пирамиды h используем угол наклона. Поскольку вторая боковая грань перпендикулярна основанию, высота h будет равна:
h = l * cos(в),
где l — длина бокового ребра, которое наклонено под углом 60°.
5. Используем теорему Пифагора для нахождения l:
l² = h² + (a/2)².
6. Поскольку h = l * sin(60°), подставим это значение:
l² = (l * sin(60°))² + (a/2)².
7. Подставляем sin(60°) = √3 / 2:
l² = (l² * 3/4) + (a² / 4).
8. Переносим все на одну сторону:
l² - (3/4)l² = (a² / 4).
(1/4)l² = (a² / 4).
9. Умножаем обе стороны на 4:
l² = a².
l = a.
10. Теперь можем найти высоту h:
h = l * cos(60°) = a * (1/2) = a / 2.
11. Подставим значения в формулу для объема V:
V = (1/3) * S * h.
12. Подставим значения:
V = (1/3) * ((√3 / 4) * a²) * (a / 2).
13. Упростим:
V = (√3 / 24) * a³.
Ответ:
Объем пирамиды равен (√3 / 24) * a³.