дано:
a - сторона основания правильной шестиугольной пирамиды α - двугранный угол при ребре основания
найти:
r - радиус вписанного шара
решение:
Высота равностороннего треугольника, образующего грань пирамиды, h_тр = (√3/2)a
Высота пирамиды H находится из соотношения:
tg(α/2) = (a/2) / H
H = (a/2) / tg(α/2)
Радиус круга, вписанного в основание (правильный шестиугольник):
R_осн = (√3/2)a
Радиус вписанного в пирамиду шара r можно найти из соотношения:
1/r = 1/H + 1/R_осн = 1/((a/2)/tg(α/2)) + 1/((√3/2)a) = 2tg(α/2)/a + 2/(a√3)
r = 1 / (2tg(α/2)/a + 2/(a√3)) = a / (2tg(α/2) + 2/√3) = a√3 / (2√3tg(α/2) + 2)
ответ:
r = a√3 / (2√3tg(α/2) + 2)