Дано:
1. Двугранный угол пирамиды при ребре основания (β) = 60°.
2. Расстояние от центра шара до вершины пирамиды (h) = 8 см.
Найти:
Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через точку A параллельно основанию пирамиды.
Решение:
1. Радиус шара (R) можно найти, используя свойства пирамиды и двугранного угла. При двугранном угле 60° высота от центра шара до точки A на боковой грани образует равнобедренный треугольник с высотой (h) и радиусом (R).
2. В треугольнике, образованном высотой и радиусом, можно записать:
tan(β) = R / (h - R).
3. Подставим значение β = 60°:
tan(60°) = √3.
Таким образом, получаем уравнение:
√3 = R / (8 - R).
4. Умножим обе стороны на (8 - R):
√3 * (8 - R) = R.
Раскроем скобки:
8√3 - √3R = R.
5. Перепишем уравнение:
8√3 = R + √3R.
8√3 = R(1 + √3).
Теперь выразим R:
R = 8√3 / (1 + √3).
6. Чтобы найти площадь сечения шара, нам нужно знать радиус сечения (r). Поскольку сечение происходит плоскостью, параллельной основанию, радиус сечения будет равен радиусу шара, уменьшенному на расстояние от центра шара до плоскости сечения h_s:
h_s = h - d, где d — расстояние от центра шара до плоскости сечения.
В данном случае d = h - R, и плоскость сечения будет находиться на уровне R.
7. Площадь сечения (S) будет равна площади круга:
S = πr².
Радиус сечения r = R * (h_s / h).
8. Подставим значение:
r = R * (R / h).
9. Теперь подставляем R:
r = (8√3 / (1 + √3)) * ((8√3 / (1 + √3)) / 8).
Упростим:
r = (8√3 / (1 + √3)) * (√3 / (1 + √3)).
10. Площадь сечения:
S = πr² = π * [(8√3 / (1 + √3)) * (√3 / (1 + √3))]².
Ответ:
Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через точку A параллельно основанию пирамиды, равна π * [(8√3 / (1 + √3)) * (√3 / (1 + √3))]² см².