Дано:
1. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды (a).
2. Плоский угол при вершине пирамиды (α).
Найти:
Радиус шара, вписанного в данную пирамиду (R).
Решение:
1. Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды (S_основания) равна:
S_основания = a².
2. Полупериметр основания (p):
p = 4a / 2 = 2a.
3. Высота пирамиды (H) можно найти, используя плоский угол α. В этом случае высота H будет связана с радиусом вписанной сферы R и углом α:
H = R / tan(α).
4. Радиус вписанной сферы (R) можно выразить через площадь основания и высоту пирамиды:
R = (S_основания * H) / (p * (H + r)),
где r — радиус вписанной окружности основания. Для квадрата с длиной стороны a:
r = S_основания / p = a² / (2a) = a / 2.
5. Подставляем значение в формулу для R:
R = (a² * H) / (2a * (H + a/2)).
6. Упрощаем:
R = (a * H) / (2(H + a/2)).
7. Теперь выразим H через R:
Подставим H = R * tan(α):
R = (a * (R * tan(α))) / (2(R * tan(α) + a/2)).
8. Упрощаем уравнение, чтобы найти R:
R = (aR * tan(α)) / (2R * tan(α) + a).
9. Переписываем уравнение в более удобной форме:
R(2R * tan(α) + a) = aR * tan(α).
10. Упрощаем:
2R² * tan(α) + aR - aR * tan(α) = 0.
11. Получаем квадратное уравнение относительно R:
2R² * tan(α) + (a - a * tan(α))R = 0.
12. Решаем это уравнение для R:
R = 0 или R = a / (2(1 + tan(α))).
Ответ:
Радиус шара, вписанного в данную пирамиду, равен a / (2(1 + tan(α))).