дано:
α = 45° (угол между образующей и высотой конуса) d = 0,04 м (расстояние от центра вписанного шара до вершины конуса)
найти:
r - радиус вписанного в конус шара
решение:
Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник. Центр вписанного шара находится на высоте конуса. Пусть R - радиус основания конуса, h - высота конуса, r - радиус вписанного шара.
Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей, имеем:
tg(45°) = R / h = 1
Следовательно, R = h.
Расстояние от центра вписанного шара до вершины конуса равно d = h - r.
В осевом сечении конуса центр вписанного шара — это точка пересечения биссектрис. В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают. Поэтому расстояние от центра вписанного шара до вершины равно h - r.
Также можно заметить, что в конусе, где угол между образующей и высотой равен 45 градусам, образующая, высота и радиус основания образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Центр вписанной сферы лежит на высоте конуса на расстоянии r от основания. Расстояние от вершины конуса до центра вписанной сферы равно h - r = R - r = R -r. Так как R = h, то имеем:
d = h - r = R - r
Поскольку tg(45°) = 1, то R = h. Следовательно,
d = R - r r = R - d
Но R = h, и в прямоугольном треугольнике R = h = r√2.
Подставляем d = 0,04м:
0,04 м = R - r = r√2 - r = r(√2 - 1)
r = 0,04 м / (√2 - 1) r ≈ 0,04 м / (1,414 - 1) ≈ 0,04 м / 0,414 ≈ 0,0966 м
Ответ:
примерно 0,0966 м или 9,66 см