Дано:
1. Радиус вписанного шара (r).
2. Угол между образующей конуса и линией, соединяющей центр шара и точку на образующей (α).
Найти:
Площадь боковой поверхности конуса (S_b).
Решение:
1. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:
S_b = π * R * l,
где R — радиус основания конуса, а l — образующая конуса.
2. Для нахождения радиуса основания R используем соотношение с радиусом вписанного шара и углом α:
R = r * (1 + 1/tan(α)).
3. Высота h конуса может быть связана с радиусом вписанного шара и углом α следующим образом:
h = r * (1/tan(α)).
4. Образующая l конуса может быть вычислена как:
l = √(R² + h²).
5. Подставляем значения R и h в формулу для l:
l = √((r * (1 + 1/tan(α)))² + (r * (1/tan(α)))²).
6. Раскроем скобки:
l = √(r² * (1 + 1/tan(α))² + r² * (1/tan(α))²).
7. Вынесем r² за скобки:
l = r * √((1 + 1/tan(α))² + (1/tan(α))²).
8. Теперь подставляем значения R и l в формулу для S_b:
S_b = π * R * l = π * (r * (1 + 1/tan(α))) * (r * √((1 + 1/tan(α))² + (1/tan(α))²)).
9. Упрощаем:
S_b = π * r² * (1 + 1/tan(α)) * √((1 + 1/tan(α))² + (1/tan(α))²).
Ответ:
Площадь боковой поверхности конуса равна π * r² * (1 + 1/tan(α)) * √((1 + 1/tan(α))² + (1/tan(α))²) см².