Дано:
- Радиус вписанного шара r (в СИ)
- Угол между центром шара и диаметром большего основания усечённого конуса а
Найти:
- Объём усечённого конуса V
Решение:
1. Известно, что радиус вписанного шара r связан с высотой H усечённого конуса и радиусами оснований r1 и r2 следующей формулой:
r = (r1 + r2) / 2 * (H / (H + l)),
где l — образующая усечённого конуса.
2. Также можно выразить радиусы оснований через угол а. Диаметр большего основания 2 * r1 будет виден из центра шара под углом а, значит:
r1 = r / sin(a).
3. Поскольку r1 и r2 имеют отношение, можем записать:
r2 = r1 - 2r * tan(a).
4. Подставим значение r1:
r2 = (r / sin(a)) - 2r * tan(a).
5. Теперь выразим высоту H через r и угол а. По свойству усечённого конуса, высота H будет равна:
H = (r1 - r2) / tan(a).
6. Подставим r1 и r2 в формулу для H:
H = [(r / sin(a)) - ((r / sin(a)) - 2r * tan(a))] / tan(a),
H = [2r * tan(a)] / tan(a),
H = 2r.
7. Теперь найдем объём усечённого конуса по формуле:
V = (1/3) * H * (S1 + S2),
где S1 и S2 - площади оснований:
S1 = π * r1² и S2 = π * r2².
8. Подставим радиусы в формулу для объёма:
V = (1/3) * H * [π * (r/sin(a))² + π * ((r/sin(a)) - 2r*tan(a))²].
9. Упростим выражение для объёма:
V = (1/3) * (2r) * π * [(r/sin(a))² + ((r/sin(a)) - 2r*tan(a))²].
10. После упрощения получаем общий вид объёма усечённого конуса:
V = (2/3) * r * π * [(r/sin(a))² + ((r/sin(a)) - 2r*tan(a))²].
Ответ:
Объём усечённого конуса составляет (2/3) * r * π * [(r/sin(a))² + ((r/sin(a)) - 2r*tan(a))²] м³.