Дано:
1. Радиус вписанного шара (R).
2. Угол между линией, проходящей через центр шара и диаметром большего основания усечённого конуса (α).
Найти:
Площадь боковой поверхности усечённого конуса (S_b).
Решение:
1. Площадь боковой поверхности усечённого конуса определяется формулой:
S_b = π * (R1 + R2) * l,
где R1 и R2 — радиусы верхнего и нижнего оснований, а l — образующая усечённого конуса.
2. Сначала определим радиусы оснований. Диаметр большего основания усечённого конуса равен 2R1. Это видно из условия, что угол α виден из центра шара. Таким образом:
R1 = R / cos(α).
3. Для нахождения радиуса верхнего основания R2, используем высоту h усечённого конуса и радиус шара R:
R2 = R1 - 2R * tan(α).
4. Подставим значение R1:
R2 = (R / cos(α)) - 2R * tan(α).
5. Теперь найдем образующую l. Образующая l связана с радиусами оснований и высотой h усечённого конуса:
l = √((R1 - R2)² + h²).
6. Высота h будет равна 2R / sin(α), так как высота усечённого конуса может быть выражена через радиус шара и угол:
h = R * (1 + 1/tan(α)).
7. Теперь подставим все известные значения в формулу для площади боковой поверхности:
S_b = π * (R1 + R2) * l.
8. Подставляя R1 и R2:
S_b = π * ((R / cos(α)) + (R / cos(α) - 2R * tan(α))) * l.
9. Упрощаем:
S_b = π * (2R / cos(α) - 2R * tan(α)) * l.
10. Теперь подставляем l и упрощаем:
S_b = π * (2R / cos(α) - 2R * tan(α)) * √((R1 - R2)² + h²).
Ответ:
Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна π * (2R / cos(α) - 2R * tan(α)) * √((R1 - R2)² + h²) см².