дано:
R - радиус описанного около конуса шара (в метрах) α - угол, под которым видна образующая конуса из центра шара
найти:
S - площадь боковой поверхности конуса
решение:
Из центра шара образующая конуса видна под углом α. Рассмотрим треугольник, образованный образующей конуса (l), радиусом основания конуса (r) и высотой конуса (h). Этот треугольник вписан в круг радиусом R.
В этом треугольнике угол при вершине равен 2α (центральный угол вдвое больше вписанного).
Из треугольника, образованного радиусом шара R и половиной образующей конуса l/2 имеем:
sin(α) = (l/2) / R l = 2Rsin(α)
Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей конуса:
l^2 = r^2 + h^2
Из треугольника, образованного радиусом шара, высотой конуса и радиусом основания, имеем:
R^2 = r^2 + h^2 = l^2
Подставим l:
R^2 = (2Rsin(α))^2 = 4R^2sin(α)^2
Отсюда sin(α)^2 = 1/4, что не всегда верно, так как α - произвольный угол.
Вместо этого воспользуемся тем, что вписанный угол опирается на диаметр шара. Тогда высота конуса h = Rcos(α), а радиус основания r = Rsin(α).
Образующая конуса l = √(h²+r²) = √(R²cos²(α) + R²sin²(α)) = R
Площадь боковой поверхности конуса:
S = πrl = π * Rsin(α) * R = πR²sin(α)
Ответ:
πR²sin(α)