дано:
- угол между образующей конуса и плоскостью его основания α (в градусах)
- радиус шара, описанного около конуса R (в метрах)
найти:
- объём конуса V (в кубических метрах)
решение:
Сначала найдем высоту h и радиус r основания конуса через радиус R.
1. В конусе образующая, радиус основания и высота образуют прямоугольный треугольник. Обозначим:
- h — высота конуса
- r — радиус основания
- R — радиус описанной сферы
В данном треугольнике:
h = R * cos(α)
r = R * sin(α)
2. Теперь можем найти объём конуса по формуле:
V = (1/3) * π * r² * h
Подставив выражения для r и h, получим:
V = (1/3) * π * (R * sin(α))² * (R * cos(α))
3. Упростим это выражение:
V = (1/3) * π * (R² * sin²(α)) * (R * cos(α))
V = (1/3) * π * R³ * sin²(α) * cos(α)
Таким образом, объём конуса можно выразить как:
V = (π * R³ * sin²(α) * cos(α)) / 3
ответ:
Объём конуса V = (π * R³ * sin²(α) * cos(α)) / 3 (в кубических метрах)