Дано:
- Образующая конуса a
- Угол между образующей и плоскостью основания α
Найти:
- Объём шара, описанного около данного конуса.
Решение:
1. Введем обозначения. Радиус основания конуса R можно выразить через образующую a и угол α:
R = a * sin(α).
2. Высота конуса H также может быть выражена через a и угол α:
H = a * cos(α).
3. Теперь найдём радиус описанной сферы R_около вокруг конуса. Радиус описанной сферы для конуса можно найти по формуле:
R_около = √(R² + H²).
4. Подставим найденные значения R и H:
R_около = √((a * sin(α))² + (a * cos(α))²).
5. Упрощаем выражение:
R_около = √(a² * sin²(α) + a² * cos²(α)),
R_около = √(a² (sin²(α) + cos²(α))),
R_около = √(a² * 1),
R_около = a.
6. Теперь вычислим объём шара V, используя формулу для объёма шара:
V = (4/3) * π * R_около³.
7. Подставляем значение радиуса R_около:
V = (4/3) * π * a³.
Ответ:
Объём шара, описанного около данного конуса, составляет (4/3)πa³ см³.