Дано:
1. Угол между образующей конуса и плоскостью основания (α).
2. Радиус основания конуса (R).
Найти:
Расстояние от вершины конуса до плоскости круга, окружность которого является линией касания шара и боковой поверхности конуса (h).
Решение:
1. Радиус вписанного шара (r) в конус можно выразить через радиус основания и высоту конуса. Высота h конуса связана с радиусом основания R и углом α следующим образом:
h = R * tan(α).
2. Радиус вписанного шара в конус можно найти по формуле:
r = R * h / (R + l),
где l — образующая конуса. Образующая l связана с высотой h и радиусом основания R:
l = √(R² + h²).
3. Подставим h:
l = √(R² + (R * tan(α))²) = √(R²(1 + tan²(α))) = R * √(1 + tan²(α)) = R / cos(α).
4. Теперь подставим выражения для h и l в формулу для радиуса вписанного шара:
r = R * (R * tan(α)) / (R + R / cos(α)).
5. Упростим:
r = R² * tan(α) / (R(1 + 1/cos(α))) = R * tan(α) / (1 + 1/cos(α)).
6. Теперь расстояние от вершины конуса до плоскости касательной линии шара (d) будет равно высоте конуса минус радиус шара:
d = h - r.
7. Подставляем h = R * tan(α):
d = R * tan(α) - R * tan(α) / (1 + 1/cos(α)).
8. Упростим:
d = R * tan(α) * (1 - 1/(1 + 1/cos(α))) = R * tan(α) * ((1 + 1/cos(α) - 1) / (1 + 1/cos(α))) = R * tan(α) * (1/cos(α)) / (1 + 1/cos(α)).
9. Таким образом, расстояние от вершины конуса до плоскости круга будет:
d = R * tan(α) / (1 + 1/cos(α)).
Ответ:
Расстояние от вершины конуса до плоскости круга, окружность которого является линией касания шара и боковой поверхности конуса, равно R * tan(α) / (1 + 1/cos(α)).