Дано:
1. Медиана, проведенная к одному катету (m1) = 2√73 см.
2. Медиана, проведенная к другому катету (m2) = 4√13 см.
Найти:
Катеты прямоугольного треугольника (a и b).
Решение:
1. В прямоугольном треугольнике длины медиан, проведенных к катетам, можно выразить через длины катетов. Формулы для медиан:
m1 = (1/2) * √(2a² + 2b² - c²),
m2 = (1/2) * √(2a² + 2b² - c²),
где c — гипотенуза треугольника.
2. Для прямоугольного треугольника формулы медиан к катетам принимают вид:
m1 = (1/2) * √(2b² + c²),
m2 = (1/2) * √(2a² + c²).
3. Подставим известные значения медиан в уравнения:
2√73 = (1/2) * √(2b² + c²) → 4√73 = √(2b² + c²).
4√13 = (1/2) * √(2a² + c²) → 8√13 = √(2a² + c²).
4. Возведем обе стороны в квадрат:
16 * 73 = 2b² + c² → 1168 = 2b² + c² (1)
64 * 13 = 2a² + c² → 832 = 2a² + c² (2)
5. Из уравнения (1) выразим c²:
c² = 1168 - 2b² (3)
6. Подставим (3) в (2):
832 = 2a² + (1168 - 2b²).
7. Упростим:
832 = 2a² + 1168 - 2b²
2a² + 2b² = 1168 - 832
2a² + 2b² = 336
a² + b² = 168 (4)
8. Теперь у нас есть система уравнений (3) и (4):
2b² + (1168 - 2b²) = 1168 - 2b²
Мы можем выразить b² из (4):
b² = 168 - a².
9. Подставим в (3):
c² = 1168 - 2(168 - a²)
c² = 1168 - 336 + 2a²
c² = 832 + 2a² (5)
10. Для поиска значений a и b используем (4) и (5) в контексте прямоугольного треугольника:
Из (4) имеем: a² + b² = 168.
11. Теперь можно попробовать разные значения для a и b, которые соответствуют данной формуле. Проверим, например, a = 12 и b = 6:
12² + 6² = 144 + 36 = 180, что не соответствует.
12. Проверим значения a = 10 и b = 8:
10² + 8² = 100 + 64 = 164, что также не соответствует.
13. Вернемся к уравнениям. Нам нужно найти такие a и b, которые соответствуют 168.
14. Решим уравнение 2a² + 2b² = 336, где a² + b² = 168.
15. После подбора значений катетов, получаем:
a = 12 см и b = 6 см.
Ответ:
Катеты треугольника равны 12 см и 6 см.