Дано:
1. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды (a) = 5 см.
2. Боковое ребро (l) = 13 см.
Найти:
Объем пирамиды (V).
Решение:
1. Площадь основания S правильного шестиугольника вычисляется по формуле:
S = (3√3 / 2) * a².
2. Подставим значение стороны a:
S = (3√3 / 2) * (5)² = (3√3 / 2) * 25 = (75√3) / 2 см².
3. Теперь найдем высоту пирамиды (h). Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике, образованном высотой, половиной стороны основания и боковым ребром:
h² + (a√3 / 2)² = l².
4. Половина стороны правильного шестиугольника равна a√3 / 2:
h² + (5√3 / 2)² = 13².
5. Упростим:
h² + (25 * 3) / 4 = 169,
h² + 75 / 4 = 169.
6. Переносим 75/4 на правую сторону:
h² = 169 - 75/4.
7. Приведем к общему знаменателю:
h² = (676 - 75) / 4 = 601 / 4.
8. Найдем h:
h = √(601) / 2 см.
9. Теперь найдем объем V пирамиды:
V = (1/3) * S * h.
10. Подставим известные значения:
V = (1/3) * ((75√3) / 2) * (√601 / 2).
11. Упростим:
V = (75√3 * √601) / 12 см³.
Ответ:
Объем пирамиды равен (75√3 * √601) / 12 см³.