Дано:
1. Ребро куба (a) = 12 см.
Найти:
Объем семигранника.
Решение:
1. Объем куба V_куба вычисляется по формуле:
V_куба = a³ = 12³ = 1728 см³.
2. Плоскость распила проходит через середины трех рёбер, имеющих общую вершину.
3. Рассмотрим куб с вершиной A. Пусть A — (0, 0, 0), тогда середины рёбер будут:
- середина ребра AB = (6, 0, 0),
- середина ребра AE = (0, 6, 0),
- середина ребра AD = (0, 0, 6).
4. Эти три точки образуют треугольную пирамиду (пирамида ABC), где A — вершина, а B, C, D — середины рёбер.
5. Найдем объем пирамиды, используя формулу:
V_пирамиды = (1/3) * S * h,
где S — площадь основания, а h — высота.
6. Площадь основания (треугольник BCD) можно найти с помощью формулы:
S = (1/2) * основание * высота.
Для треугольника BCD, координаты B = (6, 0, 0), C = (0, 6, 0), D = (0, 0, 6).
7. Найдем длины сторон треугольника BCD:
- BC = √((6-0)² + (0-6)²) = √(36 + 36) = √72 = 6√2 см.
- CD = √((0-0)² + (6-0)² + (0-6)²) = √(0 + 36 + 36) = √72 = 6√2 см.
- BD = √((6-0)² + (0-0)² + (0-6)²) = 6√2 см.
8. Поскольку треугольник равнобедренный, можно найти его площадь через формулу:
S = (1/2) * основание * высота.
Основание = 6√2 см, высота (из вершины A до плоскости BCD) = 6 см.
9. Площадь S = (1/2) * 6√2 * 6 = 18√2 см².
10. Теперь найдем объем пирамиды:
V_пирамиды = (1/3) * S * h = (1/3) * 18√2 * 12 = 72√2 см³.
11. Объем семигранника V_семигранника:
V_семигранника = V_куба - V_пирамиды.
12. Подставим значения:
V_семигранника = 1728 - 72√2 см³.
Ответ:
Объем семигранника равен 1728 - 72√2 см³.