Дано:
1. Высота пирамиды (h) = 3√3 см.
2. Угол между гранью ADМ и основанием (в1) = 60°.
3. Угол между гранью CDM и основанием (в2) = 30°.
Найти:
Объем пирамиды (V).
Решение:
1. Площадь основания ABCD (S) можно выразить через стороны прямоугольника. Обозначим длину и ширину прямоугольника как a и b соответственно.
2. Для нахождения высоты M над основанием ABCD, используем угол в1. Высота из точки M на сторону AD можно найти как:
h_AD = h * cos(в1) = 3√3 * cos(60°) = 3√3 * (1/2) = (3√3) / 2 см.
3. Аналогично, высота M над стороной CD можно найти через угол в2:
h_CD = h * cos(в2) = 3√3 * cos(30°) = 3√3 * (√3/2) = (9) / 2 см.
4. Из этих высот можем найти длины AD и CD. Поскольку M находится на одинаковом уровне высоты h для всех граней, можем использовать эти высоты для нахождения высоты пирамиды.
5. Теперь найдем площадь основания S:
S = a * b.
Так как a и b являются длинными сторонами прямоугольника, их можно выразить через высоты h_AD и h_CD:
a = h_AD / tan(60°),
b = h_CD / tan(30°).
6. Подставляя значения:
a = ((3√3) / 2) / (√3) = (3 / 2),
b = ((9) / 2) / (1/√3) = (9√3) / 2.
7. Теперь найдем площадь S:
S = a * b = (3 / 2) * (9√3 / 2) = (27√3) / 4 см².
8. Подставим в формулу для объема V:
V = (1/3) * S * h.
9. Подставляем значения:
V = (1/3) * ((27√3) / 4) * (3√3).
10. Упрощаем:
V = (27 * 3) / (12) = 81 / 12 = 27 / 4 см³.
Ответ:
Объем пирамиды равен 27 / 4 см³.