Дано:
1. Длина отрезков AB = BC = m.
2. Угол ∠BAC = α.
3. Грани DAB и DAC перпендикулярны основанию.
Найти:
Объем пирамиды DABC (V).
Решение:
1. Сначала найдем площадь основания S треугольника ABC. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:
S = (1/2) * AB * AC * sin(α).
2. Для нахождения стороны AC, воспользуемся теоремой косинусов:
AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(α).
Подставляем значения:
AC² = m² + m² - 2 * m * m * cos(α) = 2m²(1 - cos(α)).
AC = m * √(2(1 - cos(α))) = m * √(2(1 - cos(α))) = m * √(2sin²(α/2)) = m√2 * sin(α/2).
3. Теперь подставим значение стороны AC в формулу для площади S:
S = (1/2) * m * (m√2 * sin(α/2)) * sin(α).
Упрощаем:
S = (m²√2 / 2) * sin(α) * sin(α/2).
4. Теперь найдем высоту h пирамиды. Высота h равна длине перпендикуляра от точки D до плоскости основания ABC. Так как грани DAB и DAC перпендикулярны основанию, мы можем считать, что h = DA.
5. Теперь можем подставить значения в формулу для объема V:
V = (1/3) * S * h.
Подставим S:
V = (1/3) * ((m²√2 / 2) * sin(α) * sin(α/2)) * h.
6. В итоге:
V = (h * m²√2 * sin(α) * sin(α/2)) / 6.
Ответ:
Объем пирамиды DABC равен (h * m²√2 * sin(α) * sin(α/2)) / 6.