Дано:
1. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды: a (большее основание) и b (меньшее основание), где a > b.
2. Двугранный угол при ребре большего основания (γ).
Найти:
Объем усеченной пирамиды (V).
Решение:
1. Сначала найдем высоту h усеченной пирамиды. Высота h может быть вычислена через угол γ. Используем соотношение:
h = (a - b) / (2 * tan(γ)).
Это выражение основано на свойстве треугольников и соотношении между высотой и двугранным углом.
2. Теперь найдем площади оснований. Площадь основания S1 (большого) вычисляется по формуле для площади равнобедренного треугольника:
S1 = (√3 / 4) * a².
Площадь основания S2 (малого) аналогично:
S2 = (√3 / 4) * b².
3. Теперь подставим найденные площади в формулу для объема усеченной пирамиды. Объем V усеченной пирамиды вычисляется по формуле:
V = (1/3) * h * (S1 + S2 + √(S1 * S2)).
4. Подставим значения:
V = (1/3) * [(a - b) / (2 * tan(γ))] * [(√3 / 4) * a² + (√3 / 4) * b² + √((√3 / 4) * a² * (√3 / 4) * b²)].
5. Упрощаем:
V = (1/3) * [(a - b) / (2 * tan(γ))] * [(√3 / 4) * (a² + b²) + (√3 / 8) * √(a² * b²)].
6. В итоге:
V = (√3 / 24 * tan(γ)) * (a - b) * (a² + b² + (1/2) * √(a² * b²)).
Ответ:
Объем усеченной пирамиды равен (√3 / 24 * tan(γ)) * (a - b) * (a² + b² + (1/2) * √(a² * b²)).