Дано:
- Высота правильной треугольной пирамиды H.
- Двугранный угол при боковом ребре пирамиды равен a.
Найти: объём пирамиды.
Решение:
1. Площадь основания правильной треугольной пирамиды является площадью равностороннего треугольника. Для стороны основания а площадь основания можно вычислить по формуле:
S_основания = (а² * √3) / 4.
2. Теперь найдем длину бокового ребра пирамиды. Рассмотрим треугольник, образованный высотой H, половиной основания (а / 2) и боковым ребром. Двугранный угол а — это угол между боковым ребром и плоскостью основания.
В этом треугольнике можно выразить боковое ребро через высоту H и угол a, используя тригонометрию:
cos(a) = (а / 2) / l,
где l — длина бокового ребра пирамиды.
Отсюда находим l:
l = (а / 2) / cos(a).
3. Объём пирамиды вычисляется по формуле:
V = (1 / 3) * S_основания * H.
Подставляем значение площади основания S_основания = (а² * √3) / 4 и находим объём:
V = (1 / 3) * (а² * √3) / 4 * H.
4. Упростим выражение для объёма:
V = (а² * √3 * H) / 12.
Ответ: объём пирамиды равен V = (а² * √3 * H) / 12.