Дано:
- Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна а.
- Двугранный угол при боковом ребре пирамиды равен α.
Найти: объём пирамиды.
Решение:
1. Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды является площадью квадрата с длиной стороны а. Площадь основания вычисляется по формуле:
S_основания = а².
2. Для нахождения объёма пирамиды нужно найти её высоту. Высота пирамиды — это расстояние от вершины пирамиды до центра основания.
В данном случае, двугранный угол α связан с высотой пирамиды и длиной бокового ребра. Пусть h — высота пирамиды, а l — длина бокового ребра.
Рассмотрим треугольник, образованный высотой h, половиной стороны основания (а/2) и боковым ребром l. Двугранный угол α — это угол между боковым ребром и плоскостью основания.
3. В этом треугольнике можно выразить высоту h через длину бокового ребра l и угол α, используя тригонометрию. Для этого используем формулу для косинуса угла α:
cos(α) = (а/2) / l.
Отсюда, длина бокового ребра l будет равна:
l = а / (2 * cos(α)).
4. Теперь, используя соотношение для треугольника с боковым ребром, можно выразить высоту пирамиды h через l и угол α. Высота h будет равна:
h = l * sin(α).
Подставим значение l:
h = (а / (2 * cos(α))) * sin(α).
Упростим выражение:
h = а * tan(α) / 2.
5. Объём пирамиды вычисляется по формуле:
V = (1/3) * S_основания * h.
Подставим S_основания = а² и h = а * tan(α) / 2:
V = (1/3) * а² * (а * tan(α) / 2).
6. Упростим выражение для объёма:
V = (а³ * tan(α)) / 6.
Ответ: объём пирамиды равен V = (а³ * tan(α)) / 6.