Дано:
1. Двугранный угол при ребре основания (α).
2. Сторона основания (a).
Найти:
Радиус сферы, описанной около данной пирамиды (R).
Решение:
1. В правильной четырехугольной пирамиде, ребра основания равны a, и высота h может быть найдена через двугранный угол α и сторону основания.
2. Высота h пирамиды выражается через сторону основания и угол:
h = (a / 2) * tan(α).
3. Для нахождения радиуса описанной сферы R используется следующая формула:
R = √((a / 2)² + h² + (a / 2)²).
Здесь (a / 2) — это расстояние от центра основания до вершины.
4. Подставим h в формулу для R:
R = √((a / 2)² + ((a / 2) * tan(α))² + (a / 2)²).
5. Упрощаем выражение:
R = √((a² / 4) + (a² / 4) * tan²(α) + (a² / 4)).
6. Вынесем общий множитель:
R = √((a² / 4) * (1 + tan²(α) + 1)) = √((a² / 4) * (2 + tan²(α))).
7. Используя тригонометрическую идентичность:
1 + tan²(α) = sec²(α),
получаем:
R = (a / 2) * √(2 + tan²(α)).
Ответ:
Радиус сферы, описанной около данной пирамиды, равен (a / 2) * √(2 + tan²(α)).