Дано:
1. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды (a) = 4 см.
2. Двугранный угол пирамиды при ребре основания (α) = 60°.
Найти:
Объем пирамиды (V).
Решение:
1. Площадь основания S правильной четырёхугольной пирамиды (квадрат) вычисляется по формуле:
S = a² = 4² = 16 см².
2. В правильной четырёхугольной пирамиде высота h может быть найдена через двугранный угол. Для этого используем отношение высоты к половине стороны основания:
tan(α) = h / (a/2).
3. Подставим известные значения:
tan(60°) = h / (4/2) = h / 2.
4. Зная, что tan(60°) = √3, получаем:
√3 = h / 2.
5. Умножим обе стороны на 2:
h = 2√3 см.
6. Теперь найдем объем V пирамиды:
V = (1/3) * S * h.
7. Подставим значения:
V = (1/3) * 16 * (2√3) = (32√3) / 3 см³.
Ответ:
Объем пирамиды равен (32√3) / 3 см³.