Question

Основания усеченном пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники с гипотенузами а и b, а > b. Боковые грани пирамиды, содержащие катеты оснований, перпендикулярны основаниям, а третья боковая грань образует с большим основанием угол в. Найдите объём усечённой пирамиды.

Answer 1

дано:
a - гипотенуза большего основания усеченной пирамиды (в м) b - гипотенуза меньшего основания усеченной пирамиды (в м) γ - угол между третьей боковой гранью и большим основанием

найти:
V - объем усеченной пирамиды (в м³)

решение:

Так как основания - равнобедренные прямоугольные треугольники, то катеты большего основания равны a/√2, а катеты меньшего основания равны b/√2.

Площади оснований:

S1 (большее основание) = (1/2) * (a/√2)² = a²/4 S2 (меньшее основание) = (1/2) * (b/√2)² = b²/4

Высота большей пирамиды (из которой образована усеченная пирамида):

H1 = a/2

Высота меньшей пирамиды:

H2 = b/2

Высота усеченной пирамиды:

h = H1 - H2 = (a - b)/2

Объем усеченной пирамиды:

V = (1/3) * h * (S1 + √(S1*S2) + S2) = (1/3) * ((a - b)/2) * (a²/4 + (ab)/4 + b²/4) = (a - b)(a² + ab + b²) / 24

Угол γ между третьей боковой гранью и большим основанием не используется при вычислении объёма в этой задаче, потому что задача предполагает, что боковые грани, содержащие катеты оснований, перпендикулярны основаниям. Угол γ определяет форму третьей боковой грани, но не влияет на объём.

Ответ:
(a - b)(a² + ab + b²) / 24