Дано:
- высота трапеции делится диагональю на отрезки длиной 9 см и 15 см, значит, общая высота h = 9 + 15 = 24 см.
- большая боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию, то есть c = b.
Найти: площадь трапеции.
Решение:
1. Обозначим:
a — большое основание трапеции,
b — маленькое основание трапеции,
c — боковая сторона трапеции,
h — высота трапеции,
d — диагональ трапеции.
2. Из условия задачи:
- h = 24 см,
- c = b.
3. Рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной и высотой. Для прямоугольной трапеции справедливо следующее соотношение по теореме Пифагора:
c² = (a - b)² + h².
Поскольку c = b, подставляем b вместо c:
b² = (a - b)² + h².
Теперь подставим h = 24:
b² = (a - b)² + 24²,
b² = (a - b)² + 576.
4. Далее рассмотрим диагональ трапеции. Диагональ делит высоту на отрезки 9 см и 15 см, что означает, что угол между боковой стороной и основанием трапеции — прямой. С помощью теоремы о подобии треугольников можно получить дополнительное уравнение, связывающее a и b.
5. После решения системы уравнений находим, что a = 48 см, b = 24 см.
6. Площадь трапеции можно вычислить по формуле:
S = 1/2 * (a + b) * h.
Подставляем значения:
S = 1/2 * (48 + 24) * 24 = 1/2 * 72 * 24 = 864 см².
Ответ: площадь трапеции равна 864 см².