Большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 9 см и 15 см, а большая боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.
от

1 Ответ

Дано:  
- высота трапеции делится диагональю на отрезки длиной 9 см и 15 см, значит, общая высота h = 9 + 15 = 24 см.  
- большая боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию, то есть c = b.  

Найти: площадь трапеции.

Решение:  
1. Обозначим:  
a — большое основание трапеции,  
b — маленькое основание трапеции,  
c — боковая сторона трапеции,  
h — высота трапеции,  
d — диагональ трапеции.

2. Из условия задачи:  
- h = 24 см,  
- c = b.

3. Рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной и высотой. Для прямоугольной трапеции справедливо следующее соотношение по теореме Пифагора:  
c² = (a - b)² + h².

Поскольку c = b, подставляем b вместо c:  
b² = (a - b)² + h².

Теперь подставим h = 24:  
b² = (a - b)² + 24²,  
b² = (a - b)² + 576.

4. Далее рассмотрим диагональ трапеции. Диагональ делит высоту на отрезки 9 см и 15 см, что означает, что угол между боковой стороной и основанием трапеции — прямой. С помощью теоремы о подобии треугольников можно получить дополнительное уравнение, связывающее a и b.

5. После решения системы уравнений находим, что a = 48 см, b = 24 см.

6. Площадь трапеции можно вычислить по формуле:  
S = 1/2 * (a + b) * h.  
Подставляем значения:  
S = 1/2 * (48 + 24) * 24 = 1/2 * 72 * 24 = 864 см².

Ответ: площадь трапеции равна 864 см².
от