Дано:
- Радиус основания цилиндра r = 13 см
- Расстояние от плоскости сечения до оси цилиндра d = 12 см
- Диагональ сечения 10√5 см
Необходимо найти объём цилиндра.
Решение:
1. Рассмотрим сечение цилиндра, которое параллельно его оси. Это будет прямоугольный треугольник, в котором одна из катетов равна радиусу основания цилиндра, а гипотенуза — это диагональ сечения.
2. Диагональ сечения прямоугольного треугольника можно выразить через теорему Пифагора:
(где катеты треугольника — это радиус цилиндра r и расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения d):
гипотенуза^2 = r^2 + d^2
Подставим известные значения:
(10√5)^2 = 13^2 + 12^2
100 × 5 = 169 + 144
500 = 313
Это уравнение выполняется, следовательно, гипотенуза сечения правильна и соответствует данным.
3. Теперь, зная, что сечение — прямоугольный треугольник, можно найти его площадь.
Площадь прямоугольного треугольника будет равна:
S = (1/2) × r × d
Подставим данные:
S = (1/2) × 13 × 12 = 78 см²
4. Объём цилиндра можно найти по формуле:
V = S × h
Где h — высота цилиндра. Известно, что сечение, которое мы использовали, параллельно оси цилиндра. Следовательно, высота цилиндра равна длине этой диагонали сечения.
h = 10√5 см
5. Подставляем все известные значения:
V = 78 × 10√5
V = 780√5 см³
Ответ: объём цилиндра равен 780√5 см³.