Дано:
- Радиус меньшего основания r = 4 см
- Радиус большего основания R = 6 см
- Угол между образующей и основанием α = 60°
Найти:
- Объём усечённого конуса.
Решение:
1. Сначала найдем высоту усечённого конуса h. Из осевого сечения усечённого конуса можно использовать треугольник, образованный высотой h и радиусами r и R. Образующая конуса будет являться гипотенузой треугольника.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где одна из сторон (высота h) связана с образующей через угол:
h = (R - r) * tan(α).
3. Подставим значения в формулу:
h = (6 - 4) * tan(60°),
h = 2 * √3.
4. Теперь рассчитаем объём усечённого конуса:
V_truncated_cone = (1/3) * π * h * (R² + R*r + r²).
5. Подставим найденное значение h:
V_truncated_cone = (1/3) * π * (2 * √3) * (6² + 6*4 + 4²),
V_truncated_cone = (1/3) * π * (2 * √3) * (36 + 24 + 16),
V_truncated_cone = (1/3) * π * (2 * √3) * 76.
6. Упростим выражение:
V_truncated_cone = (152/3) * π * √3.
Ответ:
Объём усечённого конуса составляет примерно 50.67π см³ или около 159.15 см³.