Дано:
- Осевое сечение цилиндра является квадратом.
- Площадь полной поверхности цилиндра равна S.
Найти:
- Площадь сферы, описанной около данного цилиндра.
Решение:
1. Обозначим сторону квадрата, образующего осевое сечение цилиндра, как a. Тогда радиус основания цилиндра R равен:
R = a / 2.
2. Высота цилиндра h также равна стороне квадрата (так как осевое сечение - квадрат):
h = a.
3. Полная площадь поверхности цилиндра S рассчитывается по формуле:
S = 2 * π * R² + 2 * π * R * h,
где 2 * π * R² — площадь двух оснований, а 2 * π * R * h — площадь боковой поверхности.
4. Подставим значение R в формулу для площади:
S = 2 * π * (a/2)² + 2 * π * (a/2) * a,
S = 2 * π * (a² / 4) + 2 * π * (a² / 2),
S = (π * a² / 2) + (π * a²) = (π * a² / 2) + (2π * a² / 2) = (3π * a² / 2).
5. Теперь выразим a² через S:
3π * a² / 2 = S,
a² = (2S) / (3π).
6. Теперь найдем радиус описанной сферы Rсферы. Радиус описанной сферы вокруг цилиндра равен половине диагонали квадрата основания цилиндра:
Диагональ D квадрата равна:
D = a√2.
7. Следовательно, радиус описанной сферы:
Rсферы = D / 2 = (a√2) / 2.
8. Теперь подставим значение a², чтобы выразить Rсферы через S:
a = √((2S) / (3π)),
Rсферы = (√((2S) / (3π)) * √2) / 2 = √(S / (3π)).
9. Площадь сферы вычисляется по формуле:
Sсферы = 4 * π * (Rсферы)².
10. Подставим Rсферы в формулу для площади сферы:
Sсферы = 4 * π * (S / (3π)).
11. Упростим данное выражение:
Sсферы = (4/3) * S.
Ответ:
Площадь сферы, описанной около данного цилиндра, равна (4/3) S.