Дано:
- Осевое сечение конуса является равносторонним треугольником со стороной a.
Найти:
- Отношение площади сферы, вписанной в данный конус, к площади сферы, описанной около него.
Решение:
1. Высота h равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
h = (a * √3) / 2.
2. Радиус основания R конуса равен половине стороны треугольника:
R = a / 2.
3. Теперь мы найдем радиус сферы, вписанной в конус (Rвписанная). Он определяется по формуле:
Rвписанная = (R * h) / (R + h).
4. Подставим известные значения R и h:
Rвписанная = ((a / 2) * ((a * √3) / 2)) / ((a / 2) + ((a * √3) / 2)) = (a² * √3) / (a + a√3) = (a² * √3) / (a(1 + √3)) = (a * √3) / (1 + √3).
5. Теперь найдем радиус сферы, описанной около конуса (Rописанная). Он равен высоте конуса, деленной на 3, плюс радиус основания конуса:
Rописанная = h/3 + R.
6. Подставим значения:
Rописанная = ((a * √3) / 2) / 3 + (a / 2) = (a√3) / 6 + (a / 2).
7. Приведем к общему знаменателю:
Rописанная = (a√3) / 6 + (3a) / 6 = (a(√3 + 3)) / 6.
8. Теперь берем площади сфер. Площадь сферы вычисляется по формуле:
S = 4 * π * R².
9. Найдем площадь сфер. Для вписанной сферы:
Svписанная = 4 * π * (Rвписанная)² = 4 * π * ((a * √3) / (1 + √3))² = 4 * π * (3a² / (1 + √3)²).
10. Для описанной сферы:
Sописанная = 4 * π * (Rописанная)² = 4 * π * ((a(√3 + 3)) / 6)² = 4 * π * (a²(√3 + 3)² / 36) = (πa²(√3 + 3)²) / 9.
11. Теперь найдем отношение площадей:
Отношение = Svписанная / Sописанная = (4 * π * (3a² / (1 + √3)²)) / (πa²(√3 + 3)² / 9).
12. Упростим это выражение:
Отношение = (4 * 9 * 3) / ((1 + √3)²(√3 + 3)²) = 108 / ((1 + √3)²(√3 + 3)²).
Ответ:
Отношение площади сферы, вписанной в данный конус, к площади сферы, описанной около него, равно 108 / ((1 + √3)²(√3 + 3)²).