дано:
- Образующая конуса L = 20 см.
- Площадь боковой поверхности S_бок = 240π см².
найти:
Радиус сферы, вписанной в данный конус r.
решение:
1. Площадь боковой поверхности конуса выражается формулой:
S_бок = π * R * L,
где R - радиус основания конуса.
2. Подставим известные значения:
240π = π * R * 20.
3. Упрощаем уравнение (делим на π):
240 = R * 20.
4. Найдем радиус основания R:
R = 240 / 20 = 12 см.
5. Теперь найдем высоту конуса H, используя теорему Пифагора:
H = √(L² - R²).
6. Подставим значения L и R:
H = √(20² - 12²) = √(400 - 144) = √256 = 16 см.
7. Для нахождения радиуса вписанной сферы используем формулу:
r = (R * H) / (R + L).
8. Подставим значения R и H:
r = (12 * 16) / (12 + 20).
9. Упростим:
r = 192 / 32 = 6 см.
ответ:
Радиус сферы, вписанной в данный конус, равен 6 см.