Дано:
- Радиус основания конуса равен 4 см.
- Угол, стягивающий дугу, равен 60°.
- Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен 30°.
Найти:
Площадь образовавшегося сечения.
Решение:
1. В основании конуса проведем радиус, который будет делить дугу на два одинаковых сегмента по 30° каждый. Таким образом, длина хорды, стягивающей угол 60°, может быть найдена по формуле:
L = 2 * r * sin(θ / 2),
где r — радиус основания, θ — угол в радианах. Переведем градусы в радианы:
θ = 60° = π / 3 рад.
2. Теперь подставим значение:
L = 2 * 4 * sin(π / 6)
= 2 * 4 * 1/2
= 4 см.
3. Плоскость, проходящая через вершину конуса и хорду, образует треугольник, основание которого равно длине хорды (4 см), а высота h можно найти используя угол между плоскостью сечения и основанием (30°):
h = r * tan(30°).
tan(30°) = 1/√3.
4. Подставим радиус:
h = 4 * (1/√3)
= 4/√3 см.
5. Площадь треугольника можно найти по формуле:
S = (1/2) * основание * высота
= (1/2) * 4 * (4/√3)
= 8/√3 см².
Ответ:
Площадь образовавшегося сечения равна 8/√3 см².