Дано:
- Правильная четырёхугольная пирамида с основанием в виде квадрата.
- Центр шара, описанного около пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 3 : 2 от вершины.
Найти:
- Двугранный угол пирамиды при её боковом ребре.
Решение:
1. Пусть длина стороны квадрата основания пирамиды равна a, а высота пирамиды (расстояние от вершины до основания) равна h.
2. Центр шара, описанного около пирамиды, находится на оси симметрии, деля высоту в отношении 3 : 2. То есть, центр шара находится на высоте 3h/5 от вершины пирамиды.
3. Боковое ребро пирамиды соединяет вершину с вершинами квадрата основания. Для нахождения двугранного угла нужно рассмотреть два вектора, которые образуют этот угол, а именно:
- Вектор, направленный вдоль бокового ребра.
- Вектор, направленный вдоль одного из рёбер квадрата основания.
4. Для нахождения двугранного угла можно использовать скалярное произведение между векторами.
Обозначим:
- Вектор, направленный вдоль бокового ребра, как v.
- Вектор, направленный вдоль одного из рёбер квадрата основания, как u.
5. Двугранный угол между ними можно найти через косинус угла между ними, используя формулу скалярного произведения:
cos(α) = (v * u) / (|v| * |u|),
где α — искомый угол, v * u — скалярное произведение векторов, |v| и |u| — их длины.
6. Длина бокового ребра можно найти через теорему Пифагора, используя координаты вершин пирамиды.
7. После выполнения всех расчётов, двугранный угол будет:
Ответ: 45°.