дано:
- Высота конуса H.
- Угол между образующей и плоскостью основания конуса α.
найти:
Радиус сферы, описанной около данного конуса R.
решение:
1. Обозначим радиус основания конуса как R_осн.
2. Связь между радиусом основания, высотой и уголом можно записать через тангенс угла:
tan(α) = R_осн / H.
3. Отсюда можно выразить радиус основания:
R_осн = H * tan(α).
4. Для нахождения радиуса сферы, описанной около конуса, используем формулу:
R = (H² + R_осн²) / (2 * H).
5. Подставим выражение для R_осн в формулу:
R = (H² + (H * tan(α))²) / (2 * H).
6. Упростим полученное выражение:
R = (H² + H² * tan²(α)) / (2 * H)
= H * (1 + tan²(α)) / (2).
7. Используя тригонометрическую идентичность, можно записать:
1 + tan²(α) = sec²(α).
8. Таким образом, получаем:
R = H * sec²(α) / 2.
ответ:
Радиус сферы, описанной около данного конуса, равен H * sec²(α) / 2.