дано:
- Радиус основания конуса R = 3 см.
- Радиус вписанного шара r = √3 см.
найти:
Угол при вершине осевого сечения конуса α.
решение:
1. В радиусе вписанного шара можно выразить его через высоту H и радиус основания R:
r = (R * H) / (R + L),
где L - образующая конуса.
2. Образующая L можно найти из треугольника, образованного высотой H, радиусом основания R и образующей L:
L = √(H² + R²).
3. Для нахождения высоты H используем:
r = (R * H) / (R + L).
4. Подставим известные значения, используя формулу для r:
√3 = (3 * H) / (3 + L).
5. Теперь выразим L в терминах H:
L = √(H² + R²) = √(H² + 3²) = √(H² + 9).
6. Подставляем L обратно в уравнение:
√3 = (3 * H) / (3 + √(H² + 9)).
7. Умножаем обе части на (3 + √(H² + 9)):
√3 * (3 + √(H² + 9)) = 3 * H.
8. Раскроем скобки:
3√3 + √3*√(H² + 9) = 3H.
9. Переносим 3H в левую сторону:
√3 * √(H² + 9) = 3H - 3√3.
10. Возведем обе стороны в квадрат:
3(H² + 9) = (3H - 3√3)².
11. Упрощаем:
3H² + 27 = 9H² - 18√3H + 27.
12. Сокращаем 27:
3H² = 9H² - 18√3H.
13. Переносим все на одну сторону:
0 = 6H² - 18√3H.
14. Разделим на 6:
0 = H² - 3√3H.
15. Решим это уравнение:
H(H - 3√3) = 0, отсюда H = 0 или H = 3√3.
16. Теперь найдем угол α, который образуется в осевом сечении конуса:
tan(α/2) = R / H.
17. Подставляем R и H:
tan(α/2) = 3 / (3√3) = 1 / √3.
18. Угол, для которого tan(α/2) = 1 / √3 это α/2 = 30°.
19. Таким образом, угол при вершине конуса:
α = 2 * 30° = 60°.
ответ:
Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°.