дано:
- угол A = 15°
- треугольник ABC, где C — прямой угол
найти:
- доказать, что высота h, проведённая к гипотенузе AB, в 4 раза меньше гипотенузы c
решение:
1. Обозначим длины сторон треугольника. Пусть гипотенуза AB = c.
2. По свойству углов треугольника, угол B будет равен 90° - 15° = 75°.
3. Рассмотрим высоту h, проведённую из вершины C к гипотенузе AB. Высота h делит треугольник на два меньших прямоугольных треугольника: ACD и BCD, где D — точка пересечения высоты с гипотенузой.
4. В прямоугольном треугольнике ABC можно использовать синус и косинус для нахождения отношений высоты и гипотенузы:
sin(15°) = AC / c
cos(15°) = BC / c
5. Высота h, проведённая к гипотенузе, равна произведению двух катетов:
h = AC * sin(75°) = AC * cos(15°)
6. Исходя из свойств тригонометрических функций:
h = (c * sin(15°)) * sin(75°)
7. Применим формулу для sin(75°):
sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)*cos(30°) + cos(45°)*sin(30°)
8. Подставляем значения:
sin(75°) = (√2/2)*(√3/2) + (√2/2)*(1/2) = (√6 + √2)/4
9. Теперь подставляем обратно в уравнение для высоты:
h = c * sin(15°) * (√6 + √2)/4
10. Упростим выражение. Известно, что:
sin(15°) = (√6 - √2)/4
11. Таким образом:
h = c * ((√6 - √2)/4) * ((√6 + √2)/4)
12. Упрощаем:
h = c * (6 - 2)/16 = c * 4/16 = c/4
13. Это означает, что h = c/4.
ответ:
Высота, проведённая к гипотенузе, в 4 раза меньше гипотенузы, что и требовалось доказать.