дано:
Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, в котором угол B = 90°.
Высота h проведена к гипотенузе AC.
найти:
Доказать, что высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
решение:
Обозначим:
- A, B, C — вершины прямоугольного треугольника, где угол B = 90°.
- h — высота, проведенная из вершины B на гипотенузу AC.
- H1 — новый треугольник, образованный точками A, B и точкой пересечения высоты с гипотенузой.
- H2 — новый треугольник, образованный точками C, B и точкой пересечения высоты с гипотенузой.
Для доказательства, что треугольники H1 и H2 подобны исходному, применим теорему о подобии треугольников.
1. Треугольники H1, H2 и ABC являются прямоугольными, так как угол B = 90° в исходном треугольнике, а также в каждом из новых треугольников.
2. Треугольники H1 и ABC подобны, потому что они имеют угол в 90° и общую вершину A. Таким образом, угол A1 = угол A (общий угол), и угол прямой треугольник в H1 и ABC равен 90°.
3. Треугольники H2 и ABC подобны, потому что они имеют угол в 90° и общую вершину C. Таким образом, угол C2 = угол C (общий угол), и угол прямой треугольник в H2 и ABC равен 90°.
Значит, мы доказали, что треугольники H1 и ABC, а также H2 и ABC подобны.
ответ: Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, действительно разбивает его на два треугольника, подобных исходному.