Дано:
1. Сумма двух сторон треугольника равна 16 см.
2. Угол между этими сторонами равен 120°.
3. Третья сторона равна 14 см.
Найти:
Меньшую из двух сторон.
Решение:
1. Обозначим стороны, сумму которых мы знаем, как a и b. Тогда:
a + b = 16 см.
2. Используем теорему косинусов для нахождения одной из сторон. По теореме косинусов:
c² = a² + b² - 2ab * cos(120°).
Поскольку cos(120°) = -1/2, уравнение принимает вид:
c² = a² + b² + ab.
3. Подставим значение c = 14 см:
14² = a² + b² + ab.
196 = a² + b² + ab.
4. Теперь выразим b через a из первого уравнения:
b = 16 - a.
5. Подставим b во второе уравнение:
196 = a² + (16 - a)² + a(16 - a).
Раскроем скобки:
196 = a² + (256 - 32a + a²) + (16a - a²).
Упрощаем:
196 = a² + 256 - 32a + 16a.
196 = a² - 16a + 256.
6. Переносим все в одну сторону:
0 = a² - 16a + 256 - 196.
0 = a² - 16a + 60.
7. Решаем квадратное уравнение:
D = b² - 4ac = (-16)² - 4 * 1 * 60 = 256 - 240 = 16.
Корни уравнения:
a = (16 ± √16) / 2 = (16 ± 4) / 2.
a₁ = (20) / 2 = 10 см,
a₂ = (12) / 2 = 6 см.
8. Теперь найдем b для каждого значения a:
Если a = 10 см, то b = 6 см.
Если a = 6 см, то b = 10 см.
9. Меньшая из сторон:
Ответ:
Меньшая сторона равна 6 см.