Дано:
1. Высота, проведенная из вершины тупого угла, h = 6 см.
2. Высота делит сторону параллелограмма пополам.
3. Острый угол параллелограмма α = 30°.
Найти:
Меньшую диагональ параллелограмма.
Решение:
1. Обозначим сторону параллелограмма, к которой проведена высота, как a. Поскольку высота делит сторону пополам, длина половины стороны будет равна:
a/2.
2. Высота h связана с основанием и углом α следующим образом:
h = (a/2) * tan(α).
Подставим известные значения:
6 = (a/2) * tan(30°).
3. Значение tan(30°) равно 1/√3. Подставим это:
6 = (a/2) * (1/√3).
4. Умножим обе стороны на 2√3:
12√3 = a.
5. Теперь найдем длину меньшей диагонали d. Меньшая диагональ параллелограмма может быть найдена по формуле:
d = √(a² + b² - 2ab * cos(α)),
где b — другая сторона. Поскольку у нас нет информации о другой стороне, но мы знаем, что высота h = 6 см, можем выразить сторону b через h и угол α:
b = h / sin(α).
6. Значение sin(30°) равно 1/2:
b = 6 / (1/2) = 12 см.
7. Теперь подставим значения a и b в формулу для диагонали:
d = √((12√3)² + 12² - 2 * (12√3) * 12 * cos(30°)).
8. Значение cos(30°) равно √3 / 2:
d = √((144 * 3) + 144 - 2 * (12√3) * 12 * (√3 / 2)).
9. Упрощаем:
d = √(432 + 144 - 144 * 3).
d = √(432 + 144 - 432).
d = √144 = 12 см.
Ответ:
Меньшая диагональ параллелограмма равна 12 см.