Дано:
1. Прямоугольник ABCD.
2. Диагональ AC.
3. Серединный перпендикуляр к диагонали AC пересекает сторону BC в точке M, где BM : MC = 1 : 2.
Найти:
Углы, на которые диагональ прямоугольника делит его угол.
Решение:
1. Обозначим угол A как угол ∠DAB. Поскольку ABCD — прямоугольник, угол ∠DAB = 90°.
2. Диагональ AC делит угол ∠DAB на два угла. Обозначим угол ∠DAC как α и угол ∠CAB как β.
3. Поскольку суммa углов в треугольнике равна 180°, имеем:
α + β = 90°.
4. Теперь рассмотрим точку M. Поскольку BM : MC = 1 : 2, то отрезок BM составляет 1/3 от всей длины BC, а отрезок MC составляет 2/3.
5. В треугольнике BMC, где BM = 1k и MC = 2k, угол ∠BMC будет равен углу между диагональю AC и стороной BC. Поскольку M делит BC в отношении 1 : 2, мы можем использовать теоремы о подобных треугольниках для нахождения углов.
6. Угол ∠BMC можно выразить через углы α и β. Поскольку диагональ AC является серединным перпендикуляром, то:
angle BMC = 90° - α.
7. Поскольку α + β = 90°, мы можем выразить угол α как:
α = angle BMC.
8. Углы, на которые диагональ AC делит угол ∠DAB, будут равны:
angle DAC = α = 30° и angle CAB = β = 60°.
Ответ:
Углы, на которые диагональ прямоугольника делит его угол, равны 30° и 60°.