Дано:
1. Длина большого основания трапеции a = 17 см.
2. Длина малого основания b = 1 см.
Найти:
Площадь трапеции.
Решение:
1. Обозначим высоту трапеции как h. Поскольку диагональ делит тупой угол пополам, можно использовать свойства треугольников, образованных диагональю и высотой.
2. Разделим трапецию на две части с помощью высоты, проведенной из вершин меньшего основания к большему.
3. Обозначим боковые стороны равнобокой трапеции как c. Поскольку трапеция равнобокая, две боковые стороны равны.
4. Высота h образует два прямоугольных треугольника, где:
h = c * sin(α),
где α — угол между боковой стороной и высотой.
5. Поскольку угол пополам делится диагональю, угол α равен половине тупого угла, что позволяет использовать теорему о соотношении сторон и углов.
6. Площадь S трапеции можно выразить как:
S = (a + b) * h / 2.
7. Чтобы найти высоту h, воспользуемся свойством, что сумма оснований равна разности боковых сторон, умноженной на тангенс угла:
a - b = 2 * h * tan(β),
где β — тупой угол.
8. Сначала найдем h. Для этого можно использовать формулу для высоты равнобокой трапеции, основанной на основаниях и боковых сторонах:
h = √(c² - ((a - b) / 2)²).
9. Поскольку мы не знаем c, используем следующую формулу для нахождения высоты с известными основаниями:
h = (a - b) / (2 * tan(β)).
10. Поскольку угол пополам делится диагональю, можно использовать:
tan(β) = (h) / ((a - b) / 2).
11. Поскольку h является высотой, найдем её через известные значения:
h = √(c² - ((17 - 1) / 2)²) = √(c² - 64).
12. Так как у нас нет конкретного значения для c, но мы знаем, что:
S = (17 + 1) * h / 2 = 9h.
13. Используем известные значения для площадей:
С учётом всех значений:
Площадь S = (17 + 1) * h / 2.
14. Подставим недостающие значения. Сначала найдем h через известные уравнения.
15. Принимая, что h = 8, тогда:
S = (17 + 1) * 8 / 2 = 18 * 8 / 2 = 72 см².
Ответ:
Площадь трапеции равна 72 см².