Дано:
1. Меньшая боковая сторона трапеции равна 12 см.
2. Меньшая диагональ делит тупой угол пополам.
3. Большая диагональ делит тупой угол в отношении 5 : 2, считая от вершины острого угла.
Найти:
Периметр трапеции.
Решение:
1. Обозначим меньшую диагональ как d1 и большую диагональ как d2. Известно, что d1 делит тупой угол пополам.
2. Пусть высота трапеции будет h. В прямоугольной трапеции отношение боковых сторон и оснований можно выразить через высоты и диагонали.
3. Применим правило о том, что если одна диагональ делит угол пополам, то можно использовать соотношение между сторонами:
a / b = 5 / 2,
где a и b — это длины оснований.
4. Пусть a — большее основание, а b — меньшее основание. Тогда:
a = 5k и b = 2k,
где k — коэффициент пропорциональности.
5. Известно, что меньшая боковая сторона равна 12 см. Обозначим боковые стороны как c и d:
c = 12 см (меньшая боковая сторона).
6. Поскольку трапеция прямоугольная, можно выразить основание через высоту:
h = sqrt(c^2 - ((a - b)/2)^2).
7. Подставим значения:
h = sqrt(12^2 - ((5k - 2k)/2)^2) = sqrt(144 - ((3k)/2)^2).
8. Площадь трапеции S можно выразить как:
S = (a + b) * h / 2 = (5k + 2k) * h / 2 = (7k) * h / 2.
9. Периметр P трапеции может быть выражен как:
P = a + b + c + d = 5k + 2k + 12 + 12 = 7k + 24.
10. Для нахождения k необходимо решить уравнение:
12 = h * tan(α), где α — угол, который можно найти из соотношения между сторонами.
11. Если h = 12 * tan(α), подставим известное значение и найдём k:
k = (c * 2) / (5 + 2) = 12 * 2 / 7 = 24 / 7 = 3.43 см.
12. Теперь подставляем значение k в формулу для периметра:
P = 7k + 24 = 7 * (24 / 7) + 24 = 24 + 24 = 48 см.
Ответ:
Периметр трапеции равен 48 см.